PRML读书会第十四章 Combining Models

PRML读书会第十四章 Combining Models

主讲人网神

网神(66707180) 18:57:18

大家好，今天我们讲一下第14章combining models，这一章是联合模型，通过将多个模型以某种形式结合起来，可以获得比单个模型更好的预测效果。包括这几部分：
committees, 训练多个不同的模型，取其平均值作为最终预测值。

boosting: 是committees的特殊形式，顺序训练L个模型，每个模型的训练依赖前一个模型的训练结果。
决策树：不同模型负责输入变量的不同区间的预测，每个样本选择一个模型来预测，选择过程就像在树结构中从顶到叶子的遍历。
conditional mixture model条件混合模型：引入概率机制来选择不同模型对某个样本做预测，相比决策树的硬性选择，要有很多优势。

本章主要介绍了这几种混合模型。讲之前，先明确一下混合模型与Bayesian model averaging的区别，贝叶斯模型平均是这样的：假设有H个不同模型h，每个模型的先验概率是p(h)，一个数据集的分布是：
整个数据集X是由一个模型生成的，关于h的概率仅仅表示是由哪个模型来生成的这件事的不确定性。而本章要讲的混合模型是数据集中，不同的数据点可能由不同模型生成。看后面讲到的内容就明白了。

首先看committes，committes是一大类，包括boosting，首先将最简单的形式，就是讲多个模型的预测的平均值作为最后的预测。主要讲这么做的合理性，为什么这么做会提高预测性能。从频率角度的概念，bias-variance trade-off可以解释，这个理论在3.5节讲过，我们把这个经典的图copy过来：

这个图大家都记得吧，左边一列是对多组数据分别训练得到一个模型，对应一条sin曲线，看左下角这个图，正则参数lamda取得比较小，得到一个bias很小，variance很大的一个模型。每条线的variance都很大，这样模型预测的错误就比较大，但是把这么多条曲线取一个平均值，得到右下角图上的红色线，红色线跟真实sin曲线也就是蓝色线基本拟合。所以用平均之后模型来预测，variance准确率就提高了很多，这是直观上来看，接下里从数学公式推导看下：
有一个数据集，用bootstrap方法构造M个不同的训练集bootstrap方法就是从数据集中随机选N个放到训练集中，做M次，就得到M个训练集，M个训练集训练的到M个模型，用表示，那么用committees方法，对于某个x，最终预测值是:

我们来看这个预测值是如何比单个预测值准确的，假设准确的预测模型是h(x)，那么训练得到的y(x)跟h(x)的关系是：

后面那一项是模型的error
ZealotMaster(850458544) 19:24:34
能使error趋近于0嘛？
网神(66707180) 19:25:13
模型越好越趋近于0，但很难等于0，这里committes方法就比单个模型更趋近于0
ZealotMaster(850458544) 19:25:28
求证明
网神(66707180) 19:25:39
正在证明，平均平方和错误如下：

也就是单个模型的期望error是：

如果用M个模型分别做预测，其平均错误是:

而如果用committes的结果来做预测，其期望错误是：

这个跑到了平方的里面，如果假设不同模型的error都是0均值，并且互不相关，也就是：

就可以得到：

在不同模型error互不相关的假设的下，committes错误是单个模型error的1/M，但实际上，不同模型的error通常是相关的，因此error不会减少这么多，但肯定是小于单个模型的error，接下来讲boosting，可以不考虑那个假设，取得实质的提高.boosting应该是有不同的变种，其中最出名的就是AdaBoost, adaptive boosting. 它可以将多个弱分类器结合，取得很好的预测效果，所谓弱分类器就是，只要比随即预测强一点，大概就是只要准确率超50%就行吧，这是我的理解。
boosting的思想是依次预测每个分类器，每个分类器训练时，对每个数据点加一个权重。训练完一个分类器模型，该模型分错的，再下一个模型训练时，增大权重；分对的，减少权重，具体的算法如下，我把整个算法帖出来，再逐步解释：

大家看下面这个图比较形象：

第一步，初始化每个数据点的权重为1/N.接下来依次训练M个分类器，每个分类器训练时，最小化加权的错误函数(14.15)，错误函数看上面贴的算法，从这个错误函数可以看出，权重相同时，尽量让更多的x分类正确，权重不同时，优先让权重大的x分类正确，训练完一个模型后，式(14.16)计算，既分类错误的样本的加权比例. 然后式(14.17)计算:

只要分类器准确率大于50%，就小于0.5, 就大于0。而且越小(既对应的分类器准确率越高)，就越大，然后用更新每个数据点的权重，即式(14.18)：

可以看出，对于分类错误的数据点，大于0，所以exp(a)就大于1，所以权重变大。但是从这个式子看不出，对于分类正确的样本，权重变小。这个式子表明，分类正确的样本，其权重不变，因为exp(0)=1.这是个疑问。如此循环，训练完所有模型，最后用式(14.19)做预测:

从上面过程可以看出，如果训练集合中某个样本在逐步训练每个模型时，一直被分错，他的权重就会一直变大，最后对应的也越来越大，下面看一个图例：

图中有蓝红两类样本，分类器是单个的平行于轴线的阈值，第一个分类器(m=1)把大部分点分对了，但有2个蓝点，3个红点不对，m=2时，这几个错的就变大了，圈越大，对应其权重越大，后面的分类器似乎是专门为了这个几个错分点而在努力工作，经过150个分类器，右下角那个图的分割线已经很乱了，看不出到底对不对，应该是都已经分对了吧。
网神(66707180) 19:59:59
@ZealotMaster 不知道是否明白点了，大家有啥问题？
ZealotMaster(850458544) 20:00:14
嗯，清晰一些了，这个也涉及over fitting嘛？感觉m=150好乱……
苦瓜炒鸡蛋(852383636) 20:02:23
是过拟合
网神(66707180) 20:02:25

不同的分割线，也就是不同的模型，是主要针对不同的点的，针对哪些点，由模型组合时的系数来影响。
苦瓜炒鸡蛋(852383636) 20:04:50

这是韩家炜那个数据挖掘书的那一段：
网神(66707180) 20:04:56
嗯，这章后面也讲到了boosting对某些错分的样本反应太大，一些异常点会对模型造成很大的影响。

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接下来讲boosting的错误函数，我们仔细看下对boosting错误函数的分析，boosting最初用统计学习理论来分析器泛化错误的边界bound，但后来发现这个bound太松，没有意义。实际性能比这个理论边界好得多，后来用指数错误函数来表示。从优化指数损失函数来解释adaboost比较直观，每次固定其他分类器和系数将常量分出来，能推出单分类器的损失函数及系数，再根据常量的形式能得出下一步数据权重的更新方式。指数错误函数如下：

其中N是N个样本点，是多个线性分类器的线性组合:

是分类的目标值。我们的目标是训练系数和分类器的参数，使E最小。
最小化E的方法，是先只针对一个分类器进行最小化，而固定其他分类器的参数，例如我们固定和其系数，只针对做优化，这样错误函数E可以改写为：

也就是把固定的分类器的部分都当做一个常量：，只保留相关的部分。我们用表示分对的数据集，表示分错的数据集，E又可以写成如下形式：
上式中，因为将数据分成两部分，也就确定了个是否相等，所以消去了这两个变量
看起来清爽点了：

这里面后一项是常量，前一项就跟前面boosting的算法里所用的错误函数：形式一样了。

上面是将：对做最小化得出的结论,即指数错误函数就是boosting里求单个模型时所用的错误函数.类似，也可以得到指数错误函数里的就是boosting里的，确定了根据以及

可以得到，更新w的方法：

又因为有：这又跟boosting里更新数据点权重的方法以一致。
总之，就是想说明，用指数错误函数可以描述boosting的error分析,接下来看看指数错误函数的性质，再贴一下指数错误函数的形式：

其期望error是：

然后最所有的y(x)做variational minimization,得到：
这是half the log-odds ，看下指数错误函数的图形：

绿色的线是指数错误函数可以看到，对于分错的情况，既z<0时，绿色的线呈指数趋势上升，所以异常点会对训练结果的影响很大。图中红色的线是corss-entropy 错误，是逻辑分类中用的错误函数，对分错的情况，随错误变大，其函数值基本是线性增加的，蓝色线是svm用的错误函数，叫hinge 函数。

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大家有没有要讨论的？公式比较多，需要推导一下才能理解。接下来讲决策树和条件混合模型。决策树概念比较简单，容易想象是什么样子的，可以认为决策树是多个模型，每个模型负责x的一个区间的预测，通过树形结构来寻找某个x属于哪个区间，从而得到预测值。

决策树有多个算法比较出名，ID3, C4.5, CART，书上以CART为例讲的。

CART叫classification and regression trees先看一个图示：

这个二维输入空间，被划分成5个区间，每个区间的类别分别是A-E，它的决策树如下，很简单明了：

决策树在一些领域应用比较多，最主要的原因是，他有很好的可解释性。那如何训练得到一个合适的决策树呢？也就是如何决定需要哪些节点，节点上选择什么变量作为判断依据，以及判断的阈值是多大。

首先错误函数是残差的平方和，而树的结构则用贪心策略来演化。

开始只有一个节点，也就是根节点，对应整个输入空间，然后将空间划分为2，在多个划分选择之中，选择使残差最小的那个划分，书上提到这个区间划分以及划分点阈值的选择，是用穷举的方法。然后对不同的叶子节点再分别划分子区间。这样树不停长大，何时停止增加节点呢？简单的方法是当残差小于某个值的时候。但经验发现经常再往多做一些划分后，残差又可以大幅降低

所以通常的做法是，先构造一个足够大的树，使叶子节点多到某个数量，然后再剪枝，合并的原则是使叶子尽量减少，同时残差又不要增大。

也就是最小化这个值：其中：

是某个叶子负责的那个区间里的所有数据点的预测值的平均值：

是某个数据点的预测值，是叶子的总数，控制残差和叶子数的trade-off，这是剪枝的依据。

以上是针对回归说的，对于分类，剪枝依据仍然是：

只是Q(T)不再是残差的平方和，而是cross-entropy或Gini index

交叉熵的计算是:

是第个叶子，也就是第个区间里的数据点，被赋予类别k的比例。

Gini index计算是：

决策树的优点是直观，可解释性好。缺点是每个节点对输入空间的划分都是根据某个维度来划分的，在坐标空间里看，就是平行于某个轴来划分的，其次，决策树的划分是硬性的，在回归问题里，硬性划分更明显。

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决策树就讲这么多，接下来是conditional mixture models条件混合模型。条件混合模型，我的理解是，将不同的模型依概率来结合，这部分讲了线性回归的条件混合，逻辑回归的条件混合，和更一般性的混合方法mixture of experts，首先看线性回归的混合。

第9章讲过高斯混合模型，其模型是这样的：

这是用多个高斯密度分布来拟合输入空间，就像这种x的分布：

线性回归混合的实现，可以把这个高斯混合分布扩展成条件高斯分布，模型如下：

这里面，有K个线性回归，其权重参数是，将多个线性回归的预测值确定的概率联合起来，得到最终预测值的概率分布。模型中的参数包括三部分，接下来看如何训练得到这些参数，总体思路是用第9章介绍的EM算法，引入一个隐藏变量，每个训练样本点对应一个，是一个K维的二元向量，,如果第k个模型负责生成第n个数据点，则等于1，否则等于0，这样，我们可以写出log似然函数：

然后用EM算法结合最大似然估计来求各个参数，EM算法首先选择所有参数的初始值，假设是

在E步根据这些参数值，可以得到模型k相对于数据点n的后验概率：

书上提高一个词，这个后验概率又叫做responsibilities，大概是这个数据点n由模型k 负责生成的概率吧，有了这个responsibilities，就可以计算似然函数的期望值了，如下：

在EM的M步，我们令为固定值，最大化这个期望值,从而求得新的参数

首先看，是各个模型的混合权重系数，满足，用拉格朗日乘子法，可以求得:

接下来求线性回归的参数，将似然函数期望值的式子里的高斯分布展开，可以得到如下式子：

要求第k个模型的，其他模型的W都对其没有影响，可以统统归做后面的const，这是因为log似然函数，每个模型之间是相加的关系，一求导数，其他模型的项就都消去了。上面的式子是一个加权的最小平方损失函数，每个数据点对应一个权重，这个权重可以看做是数据点的有效精度，将这个式子对求导，可以得到：

最后求得

其中，同样，对求导，得到：

这样的到了所有的参数的新值，再重复E步和M步，迭代求得满意的最终的参数值。

接下来看一个线性回归混合模型EM求参数的图示，两条直线对应两个线性回归模型用EM方法迭代求参数，两条直线最终拟合两部分数据点，中间和右边分别是经过了30轮和50轮迭代，下面那一排，表示每一轮里，每个数据点对应的responsibilities，也就是类k对于数据点n的后验概率：

最终求得的混合模型图示：

接下来讲逻辑回归混合模型，逻辑回归模型本身就定义了一个目标值的概率，所以可以直接用逻辑回归本身作为概率混合模型的组件，其模型如下：

其中，这里面的参数包括两部分。求参数的方法也是用EM，这里就不细讲了，要提一下的是在M步，似然函数不是一个closed-form的形式，不能直接求导来的出参数，需要用IRLS(iterative reweighted least squares)等迭代方法来求，下图是一个逻辑回归混合模型的训练的图示，左图是两个类别的数据，蓝色和红色表示实际的分布，中间图是用一个逻辑回归来拟合的模型，右图是用两个逻辑回归混合模型拟合的图形：