HMM学习最佳范例五：前向算法5

　　在HMM这个翻译系列的原文中，作者举了一个前向算法的交互例子，这也是这个系列中比较出彩的地方，但是，在具体运行这个例子的时候，却发现其似乎有点问题。
　　先说一下如何使用这个交互例子，运行时需要浏览器支持java，我用的是firefox。首先在Set按钮前面的对话框里上观察序列，如“Dry,Damp, Soggy” 或“Dry Damp Soggy”，观察符号间用逗号或空格隔开；然后再点击Set按钮，这样就初始化了观察矩阵；如果想得到一个总的结果，即Pr(观察序列|隐马尔科夫模型)，就点旁边的Run按钮；如果想一步一步观察计算过程，即每个节点的局部概率，就单击旁边的Step按钮。
　　原文交互例子（即天气这个例子）中所定义的已知隐马尔科夫模型如下：
　　1、隐藏状态 (天气)：Sunny，Cloudy，Rainy；
　　2、观察状态（海藻湿度）：Dry，Dryish，Damp，Soggy；
　　3、初始状态概率： Sunny（0.63）， Cloudy（0.17）， Rainy（0.20）；
　　4、状态转移矩阵：

　　　　　　　　　　　　 weather today
　　　　　　　　　　　　 Sunny Cloudy Rainy
　　　 　weather　Sunny 0.500 0.375 0.125
　　　　yesterday Cloudy 0.250 0.125 0.625
　　　　　　　　　 Rainy 　0.250 0.375 0.375

　　5、混淆矩阵：

　　　　　　　　　　　　observed states
　　　　　　　　　　　Dry Dryish Damp Soggy
　　　　　　　　　Sunny 0.60 0.20 0.15 0.05
　　　　hidden　 Cloudy 0.25 0.25 0.25 0.25
　　　　states　　Rainy 0.05 0.10 0.35 0.50

　　为了UMDHMM也能运行这个例子，我们将上述天气例子中的隐马尔科夫模型转化为如下的UMDHMM可读的HMM文件weather.hmm：
--------------------------------------------------------------------
　　　　M= 4
　　　　N= 3　
　　　　A:
　　　　0.500 0.375 0.125
　　　　0.250 0.125 0.625
　　　　0.250 0.375 0.375
　　　　B:
　　　　0.60 0.20 0.15 0.05
　　　　0.25 0.25 0.25 0.25
　　　　0.05 0.10 0.35 0.50
　　　　pi:
　　　　0.63 0.17 0.20
--------------------------------------------------------------------
　　在运行例子之前，如果读者也想观察每一步的运算结果，可以将umdhmm-v1.02目录下forward.c中的void Forward(…)函数替换如下：
--------------------------------------------------------------------
void Forward(HMM *phmm, int T, int *O, double **alpha, double *pprob)
{
　　int i, j; /* state indices */
　　int t; /* time index */
　　double sum; /* partial sum */
　　
　　/* 1. Initialization */
　　for (i = 1; i <= phmm->N; i++)
　　{
　　　　alpha[1][i] = phmm->pi[i]* phmm->B[i][O[1]];
　　　　printf( "a[1][%d] = pi[%d] * b[%d][%d] = %f * %f = %f\\n",i, i, i, O[i], phmm->pi[i], phmm->B[i][O[1]], alpha[1][i] );
　　}
　　
　　/* 2. Induction */
　　for (t = 1; t < T; t++) 　　{ 　　　　for (j = 1; j <= phmm->N; j++)
　　　　{
　　　　　　sum = 0.0;
　　　　　　for (i = 1; i <= phmm->N; i++)
　　　　　　{
　　　　　　　　sum += alpha[t][i]* (phmm->A[i][j]);
　　　　　　　　printf( "a[%d][%d] * A[%d][%d] = %f * %f = %f\\n", t, i, i, j, alpha[t][i], phmm->A[i][j], alpha[t][i]* (phmm->A[i][j]));
　　　　　　　　printf( "sum = %f\\n", sum );
　　　　　　}
　　　　　　alpha[t+1][j] = sum*(phmm->B[j][O[t+1]]);
　　　　　　printf( "a[%d][%d] = sum * b[%d][%d]] = %f * %f = %f\\n",t+1, j, j, O[t+1], sum, phmm->B[j][O[t+1]], alpha[t+1][j] );
　　　　}
　　}

　　/* 3. Termination */
　　*pprob = 0.0;
　　for (i = 1; i <= phmm->N; i++)
　　{
　　　　*pprob += alpha[T][i];
　　　　printf( "alpha[%d][%d] = %f\\n", T, i, alpha[T][i] );
　　　　printf( "pprob = %f\\n", *pprob );
　　}
}
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　　替换完毕之后，重新“make clean”，“make all”，这样新的testfor可执行程序就可以输出前向算法每一步的计算结果。
　　现在我们就用testfor来运行原文中默认给出的观察序列“Dry,Damp,Soggy”，其所对应的UMDHMM可读的观察序列文件test1.seq：
--------------------------------------------------------------------
　　　　T=3
　　　　1 3 4
--------------------------------------------------------------------
　　好了，一切准备工作就绪，现在就输入如下命令：
　　　　testfor weather.hmm test1.seq > result1
　　result1就包含了所有的结果细节：
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Forward without scaling
a[1][1] = pi[1] * b[1][1] = 0.630000 * 0.600000 = 0.378000
a[1][2] = pi[2] * b[2][3] = 0.170000 * 0.250000 = 0.042500
a[1][3] = pi[3] * b[3][4] = 0.200000 * 0.050000 = 0.010000
…
pprob = 0.026901
log prob(O| model) = -3.615577E+00
prob(O| model) = 0.026901
…
--------------------------------------------------------------------
　　黑体部分是最终的观察序列的概率结果，即本例中的Pr(观察序列|HMM) = 0.026901。
　　但是，在原文中点Run按钮后，结果却是：Probability of this model = 0.027386915。
　　这其中的差别到底在哪里？我们来仔细观察一下中间运行过程：
　　在初始化亦t=1时刻的局部概率计算两个是一致的，没有问题。但是，t=2时，在隐藏状态“Sunny”的局部概率是不一致的。英文原文给出的例子的运行结果是：
　　Alpha = (((0.37800002*0.5) + (0.0425*0.375) + (0.010000001*0.125)) * 0.15) = 0.03092813
　　而UMDHMM给出的结果是：
--------------------------------------------------------------------
　　a[1][1] * A[1][1] = 0.378000 * 0.500000 = 0.189000
　　sum = 0.189000
　　a[1][2] * A[2][1] = 0.042500 * 0.250000 = 0.010625
　　sum = 0.199625
　　a[1][3] * A[3][1] = 0.010000 * 0.250000 = 0.002500
　　sum = 0.202125
　　a[2][1] = sum * b[1][3]] = 0.202125 * 0.150000 = 0.030319
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　　区别就在于状态转移概率的选择上，原文选择的是状态转移矩阵中的第一行，而UMDHMM选择的则是状态转移矩阵中的第一列。如果从原文给出的状态转移矩阵来看，第一行代表的是从前一时刻的状态“Sunny”分别到当前时刻的状态“Sunny”，“Cloudy”，“Rainy”的概率；而第一列代表的是从前一时刻的状态“Sunny”，“Cloudy”，“Rainy”分别到当前时刻状态“Sunny”的概率。这样看来似乎原文的计算过程有误，读者不妨多试几个例子看看，前向算法这一章就到此为止了。

未完待续：维特比算法1

本翻译系列原文请参考：http://www.comp.leeds.ac.uk/roger/HiddenMarkovModels/html_dev/main.html

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