理解EM算法

EM(Expectation-Maximization)算法在机器学习和自然语言处理应用非常广泛，典型的像是聚类算法K-means和高斯混合模型以及HMM(Hidden Markov Model)。笔者觉得讲EM算法最好的就是斯坦福大学Andrew Ng机器学习课的讲课笔记和视频。本文总结性的给出普遍的EM算法的推导和证明，希望能够帮助接触过EM算法但对它不是很明白的人更好地理解这一算法。

EM算法的目标是找出有隐性变量的概率模型的最大可能性解，它分为两个过程E-step和M-step，E-step通过最初假设或上一步得出的模型参数得到后验概率，M-step重新算出模型的参数，重复这个过程直到目标函数值收敛。我们设观察到的变量所组成的向量为，所有的隐性变量所组成的向量为,模型的参数为（一个或多个参数）。在聚类的情况下，是潜在的类，而就是需要分类的数据。我们的目标就是找出模型的参数使得出现的可能性最大，也就是使下面的对数可能性最大化：

注：这里仿照Andrew Ng 的用法使用而不是，因为是模型的参数而不是随机变量。关于为什么要用EM算法而不是不直接通过得出，是因为这样可能会出现严重的overfitting (这里不详细说明，请参看Pattern Recognition and Machine Learning一书9.2.1节)。

假设是上一个概率分布，所以

最后一步是根据Jensen不等式如果是凹函数，在这个式子中就是对数函数。就是而就是。 当是严格的 凹函数的时候，中等号成立的条件是是常数，也就是说在这个特定的式子中，满足这个条件加上之前的的其实就是后验概率（参看http://www.stanford.edu/class/cs229/materials.html Lecture notes: The EM Algorithm）。这就是EM算法中E-step的由来。

M-step一般来说就是个就是二次规划的问题，通过得出。这里也就不再赘述。

EM算法其实就是coordinate ascent， E-step是将视为常数，选择一个概率分布使得目标函数最大化， M-step就是保持不变，选择使得目标函数最大化，因为每一步的目标函数都比前一步的值大，所以只要目标函数存在最大值，EM算法就会收敛。这个过程用图像表示就是：

E-step找到跟（黑色弧线）交于的（蓝色弧线），M-step得到取最大值时的，这样下去直到收敛。（此图源于Andrew）